Funktion (Mathematik)
Eine Funktion f: A → B ordnet jedem Element aus A genau ein Element aus B zu. Eindeutigkeit ist Pflicht: Jedem Input genau ein Output.
detaillierte erklärung
Eine Funktion (Abbildung) ist eine spezielle Relation zwischen zwei Mengen A (Definitionsbereich) und B (Wertebereich) mit zwei Bedingungen: 1) Linkstotalität - jedes Element aus A hat ein Bild (∀a ∈ A: ∃b ∈ B: f(a) = b). 2) Rechtseindeutigkeit - jedes Element aus A hat maximal ein Bild (a = a' ⇒ f(a) = f(a')). Notation: f: A → B, f(x) = y. Graph: Gf = {(x, f(x)) | x ∈ A} ⊆ A × B. Beispiele: f(x) = x² (ℝ → ℝ), strlen (String → ℕ). Nicht-Funktionen: 1) x ↦ ±√x (nicht rechtseindeutig, 4 → 2 und -2). 2) 1/x auf ℝ (nicht linkstotal, 0 hat kein Bild). Spezielle Funktionen: Injektiv (verschiedene Inputs → verschiedene Outputs), Surjektiv (jedes Element in B wird getroffen), Bijektiv (injektiv + surjektiv, umkehrbar).
warum ist das wichtig?
Funktionen sind Basis von Programmierung (jede Funktion sollte deterministisch sein), Algorithmen-Komplexität (O-Notation) und Diskreter Mathe. In Klausuren musst du oft nachweisen, ob eine Relation eine Funktion ist und ob sie injektiv/surjektiv/bijektiv ist.
häufige fehler
- ⚠Jede Relation ist eine Funktion - Nein, Funktionen sind spezielle Relationen (Eindeutigkeit)
- ⚠f(x) = ±√x ist eine Funktion - Nein, nicht rechtseindeutig (ein Input, zwei Outputs)
- ⚠Funktionen müssen surjektiv sein - Nein, Surjektivität ist optional (nur wenn jedes b ∈ B getroffen wird)